Особенности современного аксиоматического подхода

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой – бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

Другое о образовании:

Особенности программы физического воспитания
В США основными аспектами программы дошкольного физического воспитания считаются следующие: формирование психомоторных навыков, подвижные игры, гимнастика, танцы, физическая подготовленность, игры на воде. В наиболее общем виде структура программ по физическому воспитанию в дошкольный период склады ...

Особенности речевого развития ребенка 3-х летнего возраста
Несмотря на то, что по своей структуре и правилам язык представляет собой одно из наиболее сложных изобретений человечества, дети всех стран и народов с удивительной легкостью в раннем детстве усваивают его и овладевают речью, причем этот процесс начинается у всех детей одинаково и проходит одни и ...

Дизайн как вид искусства и художественно-конструктивная деятельность
«История цивилизации свидетельствует о многих изобретениях в мире науки, техники, искусства, прототипами которых явились образы природы, ее флоры и фауны, и даже планетарных объектов. Данный нам природой механизм восприятия «красиво-некрасиво» является тем ключом, пользуясь которым дизайнер создает ...