Особенности современного аксиоматического подхода

Эти требования включают в себя полноту (возможность вывести из системы аксиом всё содержание теории), непротиворечивость (отсутствие в теории утверждений, выводимых из аксиом и противоречащих друг другу) и независимость (невозможность вывести какую-либо аксиому из других аксиом этой теории).

Первые результаты в этой области принес метод интерпретаций. Данный метод заключается в следующем: пусть каждому исходному понятию и отношению данной аксиоматической теории T поставлен в соответствие некоторый конкретный математический объект. Совокупность таких объектов называется полем интерпретации. Всякому утверждению теории T естественным образом ставиться в соответствие некоторое высказывание об элементах поля интерпретации, которое может быть истинным или ложным. Тогда говорят, что утверждение теории T составлено истинно или ложно в данной интерпретации. Поле интерпретации и его свойство обычно сами являются объектом рассмотрения какой – либо математической теории T, которая, также, может быть аксиоматической.

Слабая сторона метода интерпретаций состоит в то, что в вопросах непротиворечивости и независимости систем аксиом он дает возможность получить только результаты, носящие относительный характер. Важным достижением этого метода стало выявление особой роли арифметики как такой математической теории, к вопросу о непротиворечивости которой сводится аналогичный вопрос для целого ряда других теорий.

Дальнейшее развитие аксиоматический метод получил в работах Д. Гильберта и его школы. В рамках этого направления было выработано дальнейшее уточнение понятия аксиоматической теории, а именно понятие формальной системы. В результате этого уточнения оказалось возможным представить сами математические теории как точные математические объекты и строить их общую теорию, или метатеорию, таких теорий. При этом соблазнительной представлялась перспектива решить на этом пути главные вопросы обоснования математики. Всякая формальная система строится как точно очерченный класс выражений - формул, в котором некоторым точным образом выявляется подкласс формул, называемых теоремами данной формальной системы. При этом формулы формальной системы не несут в себе никакого содержательного смысла; их можно строить из произвольных знаков или элементарных символов, руководствуясь только соображениями технического удобства. На самом деле, способ построения формул и понятия теоремы, той или иной формальной системы, выбираются с таким расчетом, чтобы весь этот формальный аппарат можно было применить для возможно более адекватного и полного выражения той или иной конкретной математической (или не математической) теории. Всякую конкретную математическую теорию T перевести на язык подходящей формальной системы S таким образом, что каждое осмысленное (ложное или истинное) предложение теории T выражается некоторой формальной системы S. Такой метод построения теории, Гильберт назвал методом формализации.

Другое о образовании:

Способы развития речевых умений на старшем этапе обучения английскому языку
Поскольку объектом нашего исследования является процесс совершенствования речевых умений, рассмотрим способы развития речевых умений на старшем этапе обучения английскому языку. Как было отмечено в параграфе 1.2, в процессе обучения устной речи учащиеся овладевают умениями логично и последовательно ...

Развитие речи
В непосредственной связи с развитием мышления находится воспитание культуры речи. Нередко преподаватели внимательны, только к тому содержанию, которое излагает учащийся, но не очень следят за тем, как он говорит. Такой подход не может считаться оправданным. Математик не может быть безразличным не т ...

Формирование коммуникативных качеств личности
Задачей педагога, формирующего ком­муникативную культуру, является установ­ление дружеских связей у детей, развитие у них интереса ко всему происходящему, со­здание атмосферы доброжелательности, взаимного уважения и доверия, уступчивос­ти и вместе с тем инициативности. Для до­стижения этого, на наш ...