Реализация аксиоматического подхода у А.В. Погорелова

Страница 1

Возьмем за основу введенные в пункте 1.3. аксиомы евклидовой геометрии и сравним с ними аксиомы, вводимые А. В. Погореловым, обращая внимание на порядок их введения.

А. В. Погорелов начинает учебник со свойств принадлежности точек и прямых, аксиома 11 (хотя здесь А. В. Погорелов не называет это аксиомами, а называет свойствами принадлежности точек и прямых): какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Видно, что первая аксиома у А. В. Погорелова это аксиома 14 сформулированная для плоскости. Подобное начальное уточнение аксиом с пространства на плоскость связанно с тем, что учебник разделен на два раздела: планиметрию и стереометрию. В стереометрии А. В. Погорелов доопределяет введенные раньше аксиомы.

Аксиома 12: Через любые две точки можно провести прямую и только одну. Эта аксиома эквивалентна аксиоме 11

Следующим шагом введения аксиом у А. В. Погорелова является введение основных свойств расположения точек на прямой и на плоскости.

21 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Эта аксиома является аксиомой порядка 21 ;

22 Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости;

31 Каждый отрезок имеет определенную длинны, большую нуля. Длинна отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой;

32 Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180. Градусная мера угла, равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Свойства откладывания отрезков и углов

41 На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один;

42. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньше 180, и только один;

43. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полу прямой. [24 с 10].

Свойство параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Свойства 32 и 42 не являются аксиомами, это технические правила вводящие, способ измерения углов.

Аксиомы о построении углов и отрезков являются следствиями аксиом движения.

Аксиомы стереометрии

С1 Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки не принадлежащие ей;

C2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой;

C3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Введя три аксиомы стереометрии, А. В. Погорелов предлагает уточнить аксиомы планиметрии для бесконечного числа плоскостей. При таком уточнении аксиомы принимают вид:

21 Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

42. От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей , и только один.

43 каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

5 На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не боле одной прямой, параллельной данной.

После введения аксиом планиметрии, называя их основными свойствами, А. В. Погорелов проясняет понятия теоремы и доказательства. «Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. Предположение, выражающее свойство геометрической фигуры, которое доказывается, называется теоремой».

Страницы: 1 2 3 4

Другое о образовании:

Вариативный подход в обучении химии
Разработка учебных курсов вариативного компонента учебного плана, как и любого учебного предмета, предполагает определение его содержания и структуры. Для решения этой задачи, прежде всего, необходимо выявить систему положений, определяющих роль оснований, учет которых позволит отобрать учебный мат ...

Идея относительности в кинематике
Формирование представления о механическом движении невозможно без введения понятия о системе отсчета. Чтобы описать движение тела, т. е. его перемещение в пространстве относительно каких-то других тел, с этими телами жестко связывают систему координат и часы для отсчета времени. В классической меха ...

Особенности познавательной и учебной деятельности младшего школьника
Рассмотрение школьника как субъектов учебной деятельности основывается на тезисах Д.Б. Эльконина - ведущая деятельность ребенка (игра, учебная деятельность, личное общение и т.д.) протекает в определенной социальной среде, ситуации развития, что в совокупности формирует психические и личностные нов ...

Меню сайта

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.edakam.ru